Probabilité de Base
Exercice 1
Un dé à six faces est lancé. Quelle est la probabilité d’obtenir un 6 ?
Réponse : L’ensemble des résultats possibles est {1, 2, 3, 4, 5, 6}. L’événement “obtenir un 6” a donc une probabilité de 1/6.
Explication : Il y a 6 résultats possibles et un seul résultat favorable, donc la probabilité est de 1/6.
Exercice 2
Une pièce de monnaie est lancée deux fois. Quelle est la probabilité d’obtenir deux fois pile ?
Réponse : L’ensemble des résultats possibles est {TT, TH, HT, HH}. L’événement “obtenir deux fois pile” a donc une probabilité de 1/4.
Explication : Il y a 4 résultats possibles et un seul résultat favorable, donc la probabilité est de 1/4.
Exercice 5
Un sac contient 5 billes rouges, 3 billes bleues et 2 billes vertes. On tire une bille au hasard. Quelle est la probabilité que la bille soit rouge ?
Réponse : Il y a 10 billes dans le sac et 5 billes rouges. La probabilité est donc de 5/10 = 1/2.
Explication : Il y a 10 résultats possibles et 5 résultats favorables, donc la probabilité est de 5/10.
Probabilité Conditionnelle
Exercice 3
Un dé à six faces est lancé. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair, sachant que le résultat est supérieur à 2 ?
Réponse : Les résultats possibles sont 4 et 6.
L’événement “obtenir un nombre pair” a donc une probabilité de 2/6.
Explication : Il y a quatre résultats possibles pour un lancer de dé supérieur à 2 : 3, 4, 5 et 6.
Parmi ces quatre résultats, deux sont des nombres pairs.
La probabilité d’obtenir un nombre pair est donc de 2/4.
Exercice 4
Une pièce de monnaie est lancée deux fois. Quelle est la probabilité d’obtenir deux fois pile, sachant qu’au moins une fois, le résultat est pile ?
Réponse : L’événement “obtenir deux fois pile” a une probabilité de 1/4.
L’événement “obtenir au moins une fois pile” a une probabilité de 3/4.
La probabilité conditionnelle est donc de 1/3.
Explication : Il y a 4 résultats possibles et un seul résultat favorable pour l’événement “obtenir deux fois pile”.
Il y a 6 résultats possibles et 3 résultats favorables pour l’événement “obtenir au moins une fois pile”.
La probabilité conditionnelle est donc de (1/6) / (3/4) = 1/3.
Exercice 6
On tire deux billes au hasard dans un sac contenant 5 billes rouges, 3 billes bleues et 2 billes vertes. Quelle est la probabilité que les deux billes soient rouges ?
Réponse : La probabilité que la première bille soit rouge est de 5/10.
La probabilité que la deuxième bille soit rouge, sachant que la première bille est rouge, est de 4/9.
La probabilité conditionnelle est donc de (5/10) * (4/9) = 2/9.
Explication : Il y a 10 résultats possibles pour la première bille et 5 résultats favorables. Il y a 9 résultats possibles pour la deuxième bille, sachant que la première bille est rouge, et 4 résultats favorables.
La probabilité conditionnelle est donc de (5/10) * (4/9) = 2/9.
Exercice 8
Dans une classe de 30 élèves, 18 aiment le football et 15 aiment le basketball. 7 élèves aiment les deux sports. Si un élève aime le football, quelle est la probabilité qu’il aime aussi le basketball?
Réponse : P(Basketball| Football) = P(Football et Basketball) / P(Football) = 7/18.
Explication : La probabilité conditionnelle est calculée en divisant la probabilité des deux événements qui se produisent simultanément par la probabilité de l’événement conditionnel.
Combinatoire
Exercice 7
Un mot de 3 lettres est formé avec les lettres A, B et C. Quelle est le nombre de mots possibles ?
Réponse : Chaque lettre peut être choisie parmi 3 possibilités, donc il y a 3 * 3 * 3 = 27 mots possibles.
Explication : Pour la première lettre, il y a 3 choix possibles.
Pour la deuxième lettre, il y a toujours 3 choix possibles, car la première lettre peut être choisie parmi les 3 lettres restantes.
Exercice 9
Quel est le nombre de mots de 3 lettres que l’on peut former avec les lettres A, B, et C en autorisant les répétitions?
Réponse : 33 = 3×3×3 = 27.
Explication : Avec répétition, chaque lettre peut être utilisée plusieurs fois, donc le nombre de mots possibles est le nombre de choix élevé à la puissance de la longueur du mot.
Exercice 10
Combien de mots différents de 3 lettres peut-on former avec les lettres A, B, C et D sans répétition?
Réponse : P(4,3) = 4! / (4-3)! = 24.
Explication : Le nombre de façons d’arranger n objets pris r à la fois sans répétition est nPr.
Exercice 11
Combien de groupes de 3 élèves peuvent être formés à partir d’une classe de 10 élèves?
Réponse : C(10,3) = 10! / 3!(10-3)! = 10 * 9 * 8 / 3 * 2 * 1 = 120.
Explication : Le nombre de façons de choisir r objets parmi n sans tenir compte de l’ordre est nCr.
Probabilité Appliquée en Biologie
Question : Dans une population de plantes, on sait que 30% des individus ont une mutation génétique particulière (M). De plus, on sait que parmi ceux qui ont la mutation génétique, 80% présentent une résistance à un certain type de maladie (R). En revanche, parmi ceux qui n’ont pas la mutation génétique, seulement 10% présentent cette résistance.
a) Calculez la probabilité qu’un individu choisi au hasard ait la mutation génétique et présente également la résistance à la maladie.
b) Sachant qu’un individu a la résistance à la maladie, déterminez la probabilité qu’il ait la mutation génétique.
Réponse :
a) P(M∩R) = P(M) * P(R∣M) = 0.30 * 0.80 = 0.24.
Donc, la probabilité qu’un individu choisi au hasard ait la mutation génétique et présente également la résistance à la maladie est de 0.24.
b) P(M∣R) = P(M∩R) / P(R) = 0.24 / (P(R∣M) * P(M) + P(R∣-M) * P(-M)) = 0.24 / (0.80 * 0.30 + 0.10 * 0.70) ≈ 0.774.
Donc, sachant qu’un individu a la résistance à la maladie, la probabilité qu’il ait la mutation génétique est d’environ 0.774.